圆面积公式推导

【简介】感谢网友“忘不了”参与投稿，下面是小编为大家推荐的圆面积公式推导（共3篇），仅供参考，欢迎大家阅读，希望可以帮助到有需要的朋友。

篇1： 《圆面积公式推导》教学设计

教学设想：

本节课根据新课程的理念和要求，通过创设问题情境，小组合作交流，学法迁移等形式，让学生在动手、动口、动脑中主动探究圆面积公式推导的多种方法。并借助学生的想像，发展学生的空间观念。然后引导学生探究，得出圆面积的两种推导方法，旨在拓展学生的思维。在练习设计时，选用了一些联系生活实际的问题，在于培养学生解决实际问题的能力，使教学内容生活化。

教学过程：

一、创设情景，明确目标

师：（多媒体课件出示照片）同学们，这个地方你们熟悉吗？这是我们校门口内的一个圆形大花坛，学校打算要给这个花坛铺上草坪，需要多少草皮呢？这实际上要我们解决什么数学问题？

生：圆的面积

（板书：圆的面积）

师：今天这节课，我们就来讨论怎样求圆的面积。

二、利用迁移，探究方法

师：下面请同学们回忆一下，我们以前学过哪些平面图形的面积计算？（学生答师板书）

师：它们的面积公式分别是怎样得到的？（学生答略）

师：除了长方形用“面积单位”去量之外，其它几个图形面积推导方法有什么共同特点？

生：都是用转化的方法推导出来的。

师：今天我们要学习的圆形与以上几种图形有什么明显的区别？

生：圆形是由曲线围成的。

师：能不能也用“面积单位”去量呢？

生：不能。

师：那我们该用什么方法解决呢？

生：也可以用转化的方法，把圆转化成我们熟悉的图形。

师：那好，下面请同学们打开课本，看看书上是用什么方法得出圆面积公式的。

生（看书后），师指定一名学生借助教具介绍书上的推导方法，（师板书）从而得出圆面积的计算公式。

三、借助想像，感悟“极限”

师：同学们，你们听了他的介绍后，心里还有什么疑问吗？

生：这个拼成的图形好像真的是长方形吗？

生：既然形状是近似的，那这个图形的计算结果也是近似的。这里的计算公式也不能用等号表示了。

师：那我们得想个办法，把它变直，谁有办法？

生：等分的份数多一点？

师：究竟能分多少份？16份？32份？64份？

生：等分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形。

师：请同学们闭上眼睛想像一下，如果一直这样不断无限地等分下去，这个近似的长方形将会怎样？

生：拼成的图形就真的变成长方形，因为边越来越直了。

四、小组合作，拓展思路

师：同学们，刚才我们发现书上果然利用了转化方法，把我们不熟悉的图形转化成熟悉的长方形，推导出圆的面积公式，那你们猜想一下，还能把圆转化成哪些图形？

（学生回答，师板书）

师：下面，请你们每四人组成一小组，选择其中的一种，拿出事先等分好的圆片，一边讨论，一边操作，写出推导过程。如果你们不选择以上的方法，想出与众不同的方法更好。

上来汇报的小组派出两位代表，一位拿出拼好的图形在投影仪上介绍推导过程，另一位在黑板上写出推导过程。

师：谁还有与众不同的方法吗？

生：我们知道，如果把这个近似长方形无限等分下去，确实就是长方形，其中1份可以看作是三角形，只要算出这1份三角形的面积再乘以份数就是圆的面积了。

师：你真聪明，能不能以16等份为例写出推导过程呢？

（生写出推导过程）

师：刚才一小块可以看面是三角形，那么，如果等分的份数少一点呢，再少一点呢？……因而整个圆其实可以看作什么呢？

生：一个大三角形。

师：真棒，这个大三角形的底就是什么？高就是什么？

生：这个大三角形的底就是圆的周长，高就是圆的半径。

师：同学们真厉害，能不能写出推导过程呢？

（生写出推导过程）

师：大家真了不起，竟然想出了那么多好办法。学习就应该这样，要敢于向书本挑战，要善于探究。

五、联系生活，应用知识

师：现在你们会解决校门口花坛的草坪面积了吗？

生：条件不够，要知道半径是多少？

师：好，半径是5米。

学生计算，师提醒学生注意计算时r2不要算成2×r

师：直径是10米行吗？（指名汇报）

师：不管给你们什么条件，要求圆面积，只要先求出什么就可以了。

生：半径

师出示深化题，学生练习

1．用一根绳子把一只羊拴在一片草地中的木桩上，绳长3米，这只羊吃到草的最大面积是多少？

2．半径是1米的圆，面积是3.14平方米，半径是2米的圆面积是多少平方米？

3．一个圆的直径和正方形的边长相等，圆和正方形哪个面积大？为什么？

4．某县政府部门在规划一条圆形的环城路，要计算这条路所围的面积有多大，你有什么办法？

篇2：圆面积公式的推导分析论文

圆面积公式的推导分析论文

教学圆面积公式的推导，我曾听过三种不同的教法，现分别简介过程及稍作评点。

〔第一种教法〕

（1）复习长方形面积计算公式。

（2）让学生自学课本中推导圆面积计算公式的过程。

（3）教师边用教具演示，边要求学生回答：

①拼成的图形近似于什么图形？想一想，如果等分的份数越多，拼成的图形会怎么样？

②拼成的图形与原来圆的面积相等吗？

③这个近似长方形的长相当于圆的什么？它的宽相当于圆的什么？

（4）教师要求学生说出由长方形面积计算公式，推导出圆面积计算公式的方法（可按课本说）。

（5）揭示圆的面积公式。

〔评：这种教法，看起来是引导学生自学，并结合演示让学生回答问题，似乎学生学得较主动，实际上学生未有实践、思考的过程，只是“依样画葫芦”，对其中的道理不能弄懂、弄通，这属于机械的学习。〕

〔第二种教法〕

1、导入新课。

教师让学生回忆一下，以前学习习近平行四边形、三角形、梯形的面积计算时，是用什么方法推导它们的计算公式的。（用割、拼法拼成长方形或平行四边形进行计算，教师出示割、拼教具分别作简单的演示。）接着，出示一张圆形硬纸片，问：“怎样计算它的面积呢？”（揭示课题）教师指出：我们仍可用以前学过的割、拼法，把圆转化为已学过的图形，运用此图形的面积计算方法，推导出圆面积的计算方法。

2、实际操作。

要求学生拿出圆面积的割拼图形学具，在教师的指导下，边操作，边回答以下问题：

①把一个圆平分成两半，每一个半圆形的哪一部分长度相当于圆周长的1／2？再把每一个半圆形平均分成8等份（如课本的切割图），那么哪一段的长度相当于圆的半径？

②想一想：能不能把这些等分出的图形，拼成近似于我们以前学过的图形？怎样拼？（要求学生动手实践，并指名演示拼出的几种不同的图形。如：长方形、平行四边形、梯形等。）

③所拼出的图形面积与原来圆面积相等吗？

3．推导公式。

先以拼出的近似长方形的图形为例，教师引导学生弄清，若平分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。进而，教师要求学生据图回答：割拼后的长方形的长相当于圆的哪一部分的长度？宽相当于圆的哪一部分的长度？从而

由长方形的面积＝长×宽

↓↓

得圆的面积＝πr×r＝πr［2］。

然后，出示拼出的近似的平行四边形或梯形，再次推导看能否得出上面的圆面积公式（略）。这样就得到了证实，使学生确信无疑。

〔评：这种教法比第一种教法有很大的改进，教师首先通过复习旧知，提出解决问题的.办法，把新旧知识有机结合起来，明确了本课中心内容，然后让学生亲手操作割拼成几种已学过的图形，引导学生观察、思考、比较、推导，其间不囿于课本中的推导方法，让学生思维得以发散，从而强化了转化思想，多渠道地推得圆面积计算公式。学生在学习过程中，始终处于积极主动的状态，这种学习是有意义的学习，不仅使他们“学会”，而且使他们“会学”，且有助于发展学生的智能。〕

〔第三种教法〕

1、引入新课。

教师开导：圆在日常生活、生产实践及科学实验中，有着广泛的应用。上节课我们学习了圆的周长计算，但仍不够，还要学会计算圆的面积。如计算一个雷达圆形屏幕的面积，一个圆形花圃的面积等。怎样才能算出它的面积呢？（揭示、板书课题）。

2、创设情境。

教师用几张相等的圆纸片，运用折纸、剪纸的方法，分别折剪成正四边形、正八边形、正十六边形，然后再分别与原来的图纸片叠在一起，见下图：

（附图{图}）

折四等份剪成折八等份剪成折十六等份剪成

正四边形正八边形正十六边形

引导学生观察、对比三个内接正多边形与圆的面积差（阴影部分）谁大谁小，并启发学生归结出：折成的等份数越多，剪成的正多边形边数越多，它就越接近圆。其中正多边形的每等份（三角形）就越接近圆的每等份。

3、推导公式。

师：同学们现在要计算圆的面积，选用哪种正多边形为好？为什么？

生［，1］：选正十六边形为好，因为它较接近圆。

生［，2］：选边数越多的正多边形更好，因为它更接近圆。

师：回答得很好，根据现有的右图，怎样计算圆的面积呢？请大家思考以下问题：

（1）圆的面积相当于多少个三角形面积之和？

（2）这些三角形的底边之和相当于圆的什么？

（3）每个三角形的高相当于圆的什么？

学生边回答，教师边板书：

正十六边形的面积＝S［，三角形］×16

↓

＝底边×高÷2×16

＝底边×16×高÷2

↓↓

圆的面积＝2πr×r÷2

＝πr［2］

最后让学生自学课本中的推导方法，质疑解难。进而教师小结：推导圆的面积公式与以前推导有关图形面积公式一样，把圆转化为已学过的图形进行计算，同学们课后如有兴趣，还可将圆割拼为平行四边形、梯形，看是否仍能推出S［，圆］＝πr［2］。

〔评：这种教法具有以下几个特点：

1、导入新课开门见山，使学生感到学习圆的面积是实际中的需要，从而激发了学生的求知欲望。

2、在推导圆面积公式前，教师创设情境，让学生领悟隐含于直观演示中的初步“极限”思想，有助于发展学生空间想象力和空间观念，从而为推导公式作好铺垫。这是前两种教法所不及的。

3、运用“整体－部分－整体”，分割求和的方法推导圆面积公式，新颖独特，学生易于接受，又以课本中的方法及其他方法作验证，使学生加深理解，记忆牢固。

4、小结中能促使新知与原有认知结构中有关观念建立起联系，学生的学习是“有意义”的学习。

总评：教学圆面积公式的推导，要充分运用直观手段，引发学生积极思考，不仅使学生知其然，还要知其所以然，要把教材本身的内在联系揭示出来，促使学生运用已学知识主动地去获取新知；既使学生“学会”，又使学生“会学”，让他们在学习中同时学到科学的方法，提高学习能力，这样才能取得较好的教学效果。由此可见，后两种教法是可取的，且教法三更佳。

篇3：《圆面积公式推导》优秀教学设计

教材分析：

教材首先设计了估算飞标板面积的活动。呈现了两种估算方法：一是先估算每个小三角形的面积，再估算飞标板的面积；二是把飞标板剪开，拼成近似的长方形，然后利用长方形的面积公式计算出飞标板的面积。接着是，小组合作探索圆面积的计算公式，在试一试中，让学生用刚推导出的面积公式计算飞标板的面积。教学中要给学生充分的观察、动手操作和讨论交流的空间，使学生学会转化的数学方法，体会极限的思想。

学情分析：

在学习本课内容前，学生已经认识了圆，会求圆的周长，在学习长方形、平行四边形、三角形、梯形等平面图形面积时，已学会了用割、补、移等方法，把把新知识转化为旧知识，探究推导直线平面图形的面积。因此教学本课时，可引导学生用以前学的“转化”的数学思想来推导圆的面积公式，在推导学习中不仅扩大了学生的知识，提高学生分析、解决问题的策略，空间观念也得到进一步的发展，为以后学习圆柱、圆锥等知识打好良好基础。

教学目标：

知识与技能目标：

1、理解圆的面积计算公式的推导，让学生利用已有的知识，运用转化的思考方法，推导出圆面积的`计算公式。

2、初步运用圆面积计算公式进行圆面积的计算。

过程与方法目标：

通过教师设置问题情境————学生猜想————小组合作————表达交流————归纳总结，引导学生通过多次不同的实验，运用转化方法，通过多媒体课件演示，把曲线平面图形转化为直线平面图形，推导圆的。面积计算公式。

情感态度和价值观：

通过圆面的剪拼，境况学生操作、观察、分析的能力，渗透极限思想。

教学重难点：

教学重点：圆面积公式的推导。

教学难点：极限思想的渗透与公式的推导。

教学方法和手段：

教学方法：通过直观教具演示和课件展示，学生通过猜想然后再用合作学习法动手操作验证猜想，得出结论。

教学手段：利用游戏、媒体等手段激发学生思维，让学生亲自动手操作，感受学习的乐趣。

教具准备：多媒体课件一套、圆形纸片。

学具准备：两个完全一样的圆片、透明胶带、刻度尺、量角器、剪刀、小刀。

一、复习引入

1、幻灯片出示复习题目。

2、激趣导入

同学们，今天我请你们欣赏一幅图。请看！（课件出示）在欣赏图的同时，思考右面的问题。学生猜想牛最多吃多少草是什么的图形？（课件出示）是一个圆形，要求牛吃多少草也就是求圆的面积，引出圆的面积（板书课题）

【设计意图：兴趣是最好的老师。在教学过程的伊始就用这个生活中的数学问题来导入新课的学习，既可以激起学生学习的兴趣，又可以为后面面积的学习奠定基础，更可以让学生从课堂上涉猎生活中的数学问题，让学生体验到数学来源于生活。】

二、合作探究，推导公式

1、圆面积定义

2、圆面积公式推导

那么怎样计算圆的面积呢？我们知道圆有大有小，如果用面积单位直接

去度量，显然是行不通的。请同学们回忆一下：平行四边形、三角形、梯形的面积分别是怎样计算的？

教师根据学生说的过程，通过课件演示出转化的过程。

【设计意图：平行四边形、三角形和梯形的公式推导过程是学生迁移的基础。这一环节的设计既为了勾起学生对已有知识的回忆，更是为了让后进生能够掌握新知打下良好的基础。】

想一想：这些图形面积公式的推导过程有什么共同点？（学生回答）

下面请同学们小组合作，动手剪一剪、拼一拼，看可以把圆转化成什么图形？

（小组合作，探究交流。）

谁能告诉老师你们小组把圆转化成了什么图形？（小组汇报并展示所拼图形）

小组1：我们平均分成了8份，拼成的图形非常像平行四边形。

小组2：我们把圆平均分成了16份，拼成的图形也像个平行四边形。

小组3：我们把圆平均分成了16份，拼成的图形很像一个三角形。

小组4：我们拼的图形像个梯形。

小组5：我们平均分成了4份，拼成的图形像平行四边形

大家真了不起！把圆转化成了这么多近似的图形，观察所拼平行四边形的三种情况，请看课件（展示课件），同时请同学们思考，如果把圆平均分的份数越多，拼成的图形会怎样呢？

学生回答：分的份数越多越接近长方形。

下面请同学们仔细观察、分析拼成的长方形与圆的关系，小组讨论并思考以下几个问题：

（1）圆的面积与这个长方形的面积有什么关系？

（2）这个长方形的长与圆的周长有什么关系？

（3）这个长方形的宽与圆的半径有什么关系？

（4）如果圆的半径是r，这个长方形的长和宽各是多少？

（小组合作，探究交流，推导出面积公式）

小组内说一说圆面积计算公式推导过程，师板演。

小组合作推导三角形和梯形的面积公式，并汇报交流，师演示课件。

【设计意图：这节课的重点是圆的面积公式的推导，为了让学生在大脑中烙下深深的印痕，这一环节的设计让学生在课上多动手，去剪、去拼、去贴，多动脑，去思考圆的转化方法，这样学生在课上手脑并用，个个精神十足，根本不可能再出现课上走神的现象。】

小结：同学们通过大胆猜想和动手验证，终于得到了圆面积的计算公式，老师祝贺大家取得成功！那么，求圆的面积需要什么条件呢？（半径）

三、实践运用，体验生活

那么圆的面积公式到底有什么用呢？

现在我们会求牛最多吃多少草吗？

四、课堂小结

这节课你有什么收获，学到了哪些知识？

五、课外思考。（幻灯片出示）

已知一个圆的周长，你能计算这个圆的面积吗？

板书设计：

圆的面积

圆所占平面的大小叫做圆的面积

圆的面积＝近似长方形的面积

圆的面积圆周长的一半圆的半径

长方形的面积长宽

S＝c/2×r

=2πr/2×r

=πr×r

=πr2